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详解 | 如何用Python实现机器学习算法

百家作者：AI100 2017-11-21 07:19:14

作者 | Lawlite

人生苦短，就用 Python。

在 Kaggle 最新发布的全球数据科学/机器学习现状报告中，来自 50 多个国家的 16000 多位从业者纷纷向新手们推荐 Python 语言，用以学习机器学习。

那么，用Python实现出来的机器学习算法都是什么样子呢？营长刚好在 GitHub 上发现了东南大学研究生“Lawlite”的一个项目——机器学习算法的Python实现，下面从线性回归到反向传播算法、从SVM到K-means聚类算法，咱们一一来分析其中的Python代码。

一、线性回归

1、代价函数
2、梯度下降算法
3、均值归一化
4、最终运行结果
5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

二、逻辑回归

1、代价函数
2、梯度
3、正则化
4、S型函数（即）
5、映射为多项式
6、使用的优化方法
7、运行结果
8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

1、随机显示100个数字
2、OneVsAll
3、手写数字识别
4、预测
5、运行结果
6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

三、BP神经网络

1、神经网络model
2、代价函数
3、正则化
4、反向传播BP
5、BP可以求梯度的原因
6、梯度检查
7、权重的随机初始化
8、预测
9、输出结果

四、SVM支持向量机

1、代价函数
2、Large Margin
3、SVM Kernel（核函数）
4、使用中的模型代码
5、运行结果

五、K-Means聚类算法

1、聚类过程
2、目标函数
3、聚类中心的选择
4、聚类个数K的选择
5、应用——图片压缩
6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类
7、运行结果

六、PCA主成分分析（降维）

1、用处
2、2D-->1D，nD-->kD
3、主成分分析PCA与线性回归的区别
4、PCA降维过程
5、数据恢复
6、主成分个数的选择（即要降的维度）
7、使用建议
8、运行结果
9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维

七、异常检测 Anomaly Detection

1、高斯分布（正态分布）
2、异常检测算法
3、评价的好坏，以及的选取
4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）
5、多元高斯分布
6、单元和多元高斯分布特点
7、程序运行结果

正文

一、线性回归

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LinearRegression

全部代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression.py

1、代价函数

其中：

下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近

共有m条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消

前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去

实现代码：

# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
m = len(y)
J = 0

J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
return J

注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)

2、梯度下降算法

代价函数对求偏导得到：

所以对theta的更新可以写为：

其中为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....

为什么梯度下降可以逐步减小代价函数？

假设函数f(x)

泰勒展开：f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)，

令：△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α

将△x代入泰勒展开式中：f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)

可以看出，α是取得很小的正数，[f'(x)]²也是正数，所以可以得出：f(x+△x)< =f(x)

所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。

# 梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
m = len(y)
n = len(theta)

temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式

J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值

for i in range(num_iters): # 遍历迭代次数
h = np.dot(X,theta) # 计算内积，matrix可以直接乘
temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y))) #梯度的计算
theta = temp[:,i]
J_history[i] = computerCost(X,y,theta) #调用计算代价函数
print '.',
return theta,J_history

3、均值归一化

目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法

其中为所有此feture数据的平均值

可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差

实现代码：

# 归一化feature
def featureNormaliza(X):
X_norm = np.array(X) #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算
#定义所需变量
mu = np.zeros((1,X.shape[1]))
sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))

mu = np.mean(X_norm,0) # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
sigma = np.std(X_norm,0) # 求每一列的标准差
for i in range(X.shape[1]): # 遍历列
X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i] # 归一化

return X_norm,mu,sigma

注意预测的时候也需要均值归一化数据

4、最终运行结果

代价随迭代次数的变化

5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression_scikit-learn.py

导入包

from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler #引入缩放的包

归一化

# 归一化操作
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X)
x_train = scaler.transform(X)
x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))

线性模型拟合

# 线性模型拟合
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(x_train, y)

预测

#预测结果
result = model.predict(x_test)

二、逻辑回归

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LogisticRegression

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression.py

1、代价函数

可以综合起来为：

其中：

为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数

的图像如下，即y=1时：

可以看出，当趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值

同理的图像如下（y=0）：

2、梯度

同样对代价函数求偏导：

可以看出与线性回归的偏导数一致

推导过程

3、正则化

目的是为了防止过拟合

在代价函数中加上一项

注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化

正则化后的代价：

# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
m = len(y)
J = 0

h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0
theta1[0] = 0

temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程
return J

正则化后的代价的梯度

# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
m = len(y)
grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))

h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
theta1 = initial_theta.copy()
theta1[0] = 0

grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
return grad

4、S型函数（即）

实现代码：

# S型函数
def sigmoid(z):
h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，与z的长度一置

h = 1.0/(1.0+np.exp(-z)) return h

5、映射为多项式

因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合

eg:映射为2次方的形式:

实现代码：

# 映射为多项式
def mapFeature(X1,X2):
degree = 3; # 映射的最高次方
out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组（取代X）
'''
这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
'''
for i in np.arange(1,degree+1):
for j in range(i+1):
temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
return out

6、使用scipy的优化方法

梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数

调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

costFunction是自己实现的一个求代价的函数，

initial_theta表示初始化的值,

fprime指定costFunction的梯度

args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回

result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))

7、运行结果

data1决策边界和准确度

data2决策边界和准确度

8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_scikit-learn.py

导入包

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.cross_validation import train_test_split
import numpy as np

划分训练集和测试集

# 划分为训练集和测试集
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)

归一化

# 归一化
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(x_train)
x_train = scaler.fit_transform(x_train)
x_test = scaler.fit_transform(x_test)

逻辑回归

#逻辑回归
model = LogisticRegression()
model.fit(x_train,y_train)

预测

# 预测
predict = model.predict(x_test)
right = sum(predict == y_test)
predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))   # 将预测值和真实值放在一块，好观察
print predict
print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #计算在测试集上的准确度

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll.py

1、随机显示100个数字

我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下

灰度图：

实现代码：

# 显示100个数字
def display_data(imgData):
sum = 0
'''
显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）
- 初始化一个二维数组
- 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组
- 显示即可
'''
pad = 1
display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
for i in range(10):
for j in range(10):
display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行
sum += 1

plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像
plt.axis('off')
plt.show()

2、OneVsAll

如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了

如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推...

可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

3、手写数字识别

共有0-9，10个数字，需要10次分类

由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理

说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0....

然后调用梯度下降算法求解theta

实现代码：

# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta
def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
# 初始化变量
m,n = X.shape
all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta

# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

#np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',')

'''遍历每个分类，计算对应的theta值'''
for i in range(num_labels):
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中

all_theta = np.transpose(all_theta)
return all_theta

4、预测

之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推

实现代码：

# 预测
def predict_oneVsAll(all_theta,X):
m = X.shape[0]
num_labels = all_theta.shape[0]
p = np.zeros((m,1))
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1

h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #预测

'''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
'''
p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0]))
for i in np.arange(1, m):
t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
p = np.vstack((p,t))
return p

5、运行结果

10次分类，在训练集上的准确度：

6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll_scikit-learn.py

1、导入包

from scipy import io as spio
import numpy as np
from sklearn import svm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

2、加载数据

data = loadmat_data("data_digits.mat")
X = data['X']   # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px
y = data['y']   # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)
y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)

3、拟合模型

model = LogisticRegression()
model.fit(X, y) # 拟合

4、预测

predict = model.predict(X) #预测
print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)

5、输出结果（在训练集上的准确度）

三、BP神经网络

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/NeuralNetwok/NeuralNetwork.py

1、神经网络model

先介绍个三层的神经网络，如下图所示

输入层（input layer）有三个units（为补上的bias，通常设为1）

表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit

为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重

所以可以得到：

隐含层：

输出层，

其中，S型函数，也成为激励函数

可以看出为3x4的矩阵，为1x4的矩阵

==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）

2、代价函数

假设最后输出的，即代表输出层有K个单元

，

其中，代表第i个单元输出与逻辑回归的代价函数

差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）

3、正则化

L-->所有层的个数

-->第l层unit的个数

正则化后的代价函数为

共有L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)

正则化后的代价函数实现代码：

# 代价函数
def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
# 还原theta1和theta2
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)

# np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')

m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
# 正则化向theta^2
term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))

'''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h = sigmoid(z3)
'''代价'''
J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m

return np.ravel(J)

4、反向传播BP

上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度

BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

假设4层的神经网络,记为-->l层第j个单元的误差

《===》（向量化）

没有，因为对于输入没有误差

因为S型函数的倒数为：

，

所以上面的和可以在前向传播中计算出来

反向传播计算梯度的过程为：

（是大写的）

for i=1-m:-

-正向传播计算（l=2,3,4...L）

-反向计算、...；

最后，即得到代价函数的梯度

实现代码：

# 梯度
def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0]
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值

'''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]

Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一层到第二层的权重
Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二层到第三层的权重

Theta1[:,0] = 0;
Theta2[:,0] = 0;
'''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h = sigmoid(z3)

'''反向传播，delta为误差，'''
delta3 = np.zeros((m,num_labels))
delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
for i in range(m):
delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]
Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))

'''梯度'''
grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

实际是利用了链式求导法则

因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算

大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。

求误差更详细的推导过程：

6、梯度检查

检查利用BP求的梯度是否正确

利用导数的定义验证：

求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近

验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了

实现代码：

# 检验梯度是否计算正确
# 检验梯度是否计算正确
def checkGradient(Lambda = 0):
'''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
input_layer_size = 3
hidden_layer_size = 5
num_labels = 3
m = 5
initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);
initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y

y = y.reshape(-1,1)
nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展开theta
'''BP求出梯度'''
grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y, Lambda)
'''使用数值法计算梯度'''
num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
e = 1e-4
for i in range(nn_params.shape[0]):
step[i] = e
loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
step[i]=0
# 显示两列比较
res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
print res

7、权重的随机初始化

神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。

所以应该初始化为接近0的数

实现代码

# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重
epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
return W

8、预测

正向传播预测结果

实现代码

# 预测
def predict(Theta1,Theta2,X):
m = X.shape[0]
num_labels = Theta2.shape[0]
#p = np.zeros((m,1))
'''正向传播，预测结果'''
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))

'''
返回h中每一行最大值所在的列号
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
'''
#np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))
for i in np.arange(1, m):
t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
p = np.vstack((p,t))
return p

9、输出结果

梯度检查：

随机显示100个手写数字

显示theta1权重

训练集预测准确度

归一化后训练集预测准确度

四、SVM支持向量机

1、代价函数

在逻辑回归中，我们的代价为：

，

其中：

，

如图所示，如果y=1，cost代价函数如图所示

我们想让，即z>>0，这样的话cost代价函数才会趋于最小（这是我们想要的），所以用途中红色的函数代替逻辑回归中的cost

当y=0时同样，用代替

最终得到的代价函数为：

最后我们想要

之前我们逻辑回归中的代价函数为：

可以认为这里的，只是表达形式问题，这里C的值越大，SVM的决策边界的margin也越大，下面会说明

2、Large Margin

如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开

先说一下向量内积

，

表示u的欧几里得范数（欧式范数），

向量V在向量u上的投影的长度记为p，则：向量内积：

根据向量夹角公式推导一下即可，

前面说过，当C越大时，margin也就越大，我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时，C的乘积项

要很小，所以近似为：

，

我们最后的目的就是求使代价最小的θ

由

可以得到：

，

p即为x在θ上的投影

如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到θ上的投影为p,则或者，若是p很小，则需要很大，这与我们要求的θ使最小相违背，所以最后求的是large margin

3、SVM Kernel（核函数）

对于线性可分的问题，使用线性核函数即可

对于线性不可分的问题，在逻辑回归中，我们是将feature映射为使用多项式的形式，SVM中也有多项式核函数，但是更常用的是高斯核函数，也称为RBF核

高斯核函数为：

假设如图几个点，

令：

，

. . .

可以看出，若是x与距离较近，==》，（即相似度较大），若是x与距离较远，==》，（即相似度较低）

高斯核函数的σ越小，f下降的越快

如何选择初始的

训练集：

选择：

对于给出的x，计算f,令：，

所以：

最小化J求出θ，

如果，==》预测y=1

4、使用scikit-learn中的SVM模型代码

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/SVM/SVM_scikit-learn.py

线性可分的,指定核函数为linear：

'''data1——线性分类'''
data1 = spio.loadmat('data1.mat')
X = data1['X']
y = data1['y']
y = np.ravel(y)
plot_data(X,y)

model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数

非线性可分的，默认核函数为rbf

'''data2——非线性分类'''
data2 = spio.loadmat('data2.mat')
X = data2['X']
y = data2['y']
y = np.ravel(y)
plt = plot_data(X,y)
plt.show()

model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y) # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好

5、运行结果

线性可分的决策边界：

线性不可分的决策边界：

五、K-Means聚类算法

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Menas.py

1、聚类过程

聚类属于无监督学习，不知道y的标记分为K类

K-Means算法分为两个步骤

第一步：簇分配，随机选K个点作为中心，计算到这K个点的距离，分为K个簇

第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。

如下图所示：

随机分配的聚类中心

重新计算聚类中心，移动一次

最后10步之后的聚类中心

计算每条数据到哪个中心最近实现代码：

# 找到每条数据距离哪个类中心最近
def findClosestCentroids(X,initial_centroids):
m = X.shape[0] # 数据条数
K = initial_centroids.shape[0] # 类的总数
dis = np.zeros((m,K)) # 存储计算每个点分别到K个类的距离
idx = np.zeros((m,1)) # 要返回的每条数据属于哪个类

'''计算每个点到每个类中心的距离'''
for i in range(m):
for j in range(K):
dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))

'''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别
- np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值
- np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标
- 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以）
'''
dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))
return idx[0:dis.shape[0]] # 注意截取一下

计算类中心实现代码：

# 计算类中心
def computerCentroids(X,idx,K):
n = X.shape[1]
centroids = np.zeros((K,n))
for i in range(K):
centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1) # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值
return centroids

2、目标函数

也叫做失真代价函数

最后我们想得到：

其中表示第i条数据距离哪个类中心最近，其中即为聚类的中心

3、聚类中心的选择

随机初始化，从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心

随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心

实现代码：(这里随机一次)

# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心
def kMeansInitCentroids(X,K):
m = X.shape[0]
m_arr = np.arange(0,m) # 生成0-m-1
centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))
np.random.shuffle(m_arr) # 打乱m_arr顺序
rand_indices = m_arr[:K] # 取前K个
centroids = X[rand_indices,:]
return centroids

4、聚类个数K的选择

聚类是不知道y的label的，所以不知道真正的聚类个数

肘部法则（Elbow method）

作代价函数J和K的图，若是出现一个拐点，如下图所示，K就取拐点处的值，下图此时K=3

若是很平滑就不明确，人为选择。

第二种就是人为观察选择

5、应用——图片压缩

将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值

执行聚类的算法代码：

# 聚类算法
def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process):
m,n = X.shape # 数据条数和维度
K = initial_centroids.shape[0] # 类数
centroids = initial_centroids # 记录当前类中心
previous_centroids = centroids # 记录上一次类中心
idx = np.zeros((m,1)) # 每条数据属于哪个类

for i in range(max_iters): # 迭代次数
print u'迭代计算次数：%d'%(i+1)
idx = findClosestCentroids(X, centroids)
if plot_process: # 如果绘制图像
plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程
previous_centroids = centroids # 重置
centroids = computerCentroids(X, idx, K) # 重新计算类中心
if plot_process: # 显示最终的绘制结果
plt.show()
return centroids,idx # 返回聚类中心和数据属于哪个类

6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Means_scikit-learn.py

导入包

from sklearn.cluster import KMeans

使用模型拟合数据

model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据

聚类中心

centroids = model.cluster_centers_ # 聚类中心

7、运行结果

二维数据类中心的移动

图片压缩

六、PCA主成分分析（降维）

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py

1、用处

数据压缩（Data Compression）,使程序运行更快

可视化数据，例如3D-->2D等

......

2、2D-->1D，nD-->kD

如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是投影距离的平方和（投影误差）最小

注意数据需要归一化处理

思路是找1个向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小

那么nD-->kD就是找k个向量，

所有数据投影到上面使投影误差最小

eg:3D-->2D,2个向量

就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

3、主成分分析PCA与线性回归的区别

线性回归是找x与y的关系，然后用于预测y

PCA是找一个投影面，最小化data到这个投影面的投影误差

4、PCA降维过程

数据预处理（均值归一化）

公式：

就是减去对应feature的均值，然后除以对应特征的标准差（也可以是最大值-最小值）

实现代码：

# 归一化数据
def featureNormalize(X):
'''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差'''
n = X.shape[1]
mu = np.zeros((1,n));
sigma = np.zeros((1,n))

mu = np.mean(X,axis=0)
sigma = np.std(X,axis=0)
for i in range(n):
X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
return X,mu,sigma

计算协方差矩阵Σ（Covariance Matrix）：

注意这里的Σ和求和符号不同

协方差矩阵对称正定（不理解正定的看看线代）

大小为nxn,n为feature的维度

实现代码：

Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m # 求Sigma

计算Σ的特征值和特征向量

可以是用svd奇异值分解函数：U,S,V = svd(Σ)

返回的是与Σ同样大小的对角阵S（由Σ的特征值组成）[注意：matlab中函数返回的是对角阵，在python中返回的是一个向量，节省空间]

还有两个酉矩阵U和V，且

注意：svd函数求出的S是按特征值降序排列的，若不是使用svd,需要按特征值大小重新排列U

降维

选取U中的前K列（假设要降为K维）

Z就是对应降维之后的数据

实现代码：

# 映射数据
def projectData(X_norm,U,K):
Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))

U_reduce = U[:,0:K] # 取前K个
Z = np.dot(X_norm,U_reduce)
return Z

过程总结：

Sigma = X'*X/m

U,S,V = svd(Sigma)

Ureduce = U[:,0:k]

Z = Ureduce'*x

5、数据恢复

因为：，

所以：（注意这里是X的近似值）

又因为Ureduce为正定矩阵，【正定矩阵满足：，所以：】，

所以这里：

实现代码：

# 恢复数据
def recoverData(Z,U,K):
X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
U_recude = U[:,0:K]
X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude)) # 还原数据（近似）
return X_rec

6、主成分个数的选择（即要降的维度）

如何选择

投影误差（project error）：

总变差（total variation）:

若误差率（error ratio）：，则称99%保留差异性

误差率一般取1%，5%，10%等

如何实现

若是一个个试的话代价太大

之前U,S,V = svd(Sigma),我们得到了S，这里误差率error ratio:

可以一点点增加K尝试。

7、使用建议

不要使用PCA去解决过拟合问题Overfitting，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）

只有在原数据上有好的结果，但是运行很慢，才考虑使用PCA

8、运行结果

2维数据降为1维

要投影的方向

2D降为1D及对应关系

人脸数据降维

原始数据

可视化部分U矩阵信息

恢复数据

9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py_scikit-learn.py

导入需要的包：

#-*- coding: utf-8 -*-
# Author:bob
# Date:2016.12.22
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import io as spio
from sklearn.decomposition import pca
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

归一化数据

'''归一化数据并作图'''
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X)
x_train = scaler.transform(X)

使用PCA模型拟合数据，并降维

n_components对应要将的维度
'''拟合数据'''
K=1 # 要降的维度
model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train) # 拟合数据，n_components定义要降的维度
Z = model.transform(x_train) # transform就会执行降维操作

数据恢复

model.components_会得到降维使用的U矩阵

'''数据恢复并作图'''
Ureduce = model.components_     # 得到降维用的Ureduce
x_rec = np.dot(Z,Ureduce)       # 数据恢复

七、异常检测 Anomaly Detection

全部代码

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/AnomalyDetection/AnomalyDetection.py

1、高斯分布（正态分布）Gaussian distribution

分布函数：

其中，u为数据的均值，σ为数据的标准差

σ越小，对应的图像越尖

参数估计（parameter estimation）

2、异常检测算法

例子

训练集：,其中

假设

相互独立，建立model模型：

过程

选择具有代表异常的feature:xi

参数估计：

计算p(x),若是P(x)< ε则认为异常，其中ε为我们要求的概率的临界值threshold

这里只是单元高斯分布，假设了feature之间是独立的，下面会讲到多元高斯分布，会自动捕捉到feature之间的关系

参数估计实现代码

# 参数估计函数（就是求均值和方差）
def estimateGaussian(X):
m,n = X.shape
mu = np.zeros((n,1))
sigma2 = np.zeros((n,1))

mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列，每列的均值
sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
return mu,sigma2

3、评价p(x)的好坏，以及ε的选取

对偏斜数据的错误度量

因为数据可能是非常偏斜的（就是y=1的个数非常少，(y=1表示异常)），所以可以使用Precision/Recall，计算F1Score(在CV交叉验证集上)

例如：预测癌症，假设模型可以得到99%能够预测正确，1%的错误率，但是实际癌症的概率很小，只有0.5%，那么我们始终预测没有癌症y=0反而可以得到更小的错误率。使用error rate来评估就不科学了。

如下图记录：

，即：正确预测正样本/所有预测正样本

，即：正确预测正样本/真实值为正样本

总是让y=1(较少的类)，计算Precision和Recall

还是以癌症预测为例，假设预测都是no-cancer，TN=199，FN=1，TP=0，FP=0，所以：Precision=0/0，Recall=0/1=0，尽管accuracy=199/200=99.5%，但是不可信。

ε的选取

尝试多个ε值，使F1Score的值高

实现代码

# 选择最优的epsilon，即：使F1Score最大
def selectThreshold(yval,pval):
'''初始化所需变量'''
bestEpsilon = 0.
bestF1 = 0.
F1 = 0.
step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
'''计算'''
for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
cvPrecision = pval
tp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 1)).astype(float) # sum求和是int型的，需要转为float
fp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
fn = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
precision = tp/(tp+fp) # 精准度
recision = tp/(tp+fn) # 召回率
F1 = (2*precision*recision)/(precision+recision) # F1Score计算公式
if F1 > bestF1: # 修改最优的F1 Score
bestF1 = F1
bestEpsilon = epsilon
return bestEpsilon,bestF1

4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）

如果一些数据不是满足高斯分布的，可以变化一下数据，例如log(x+C),x^(1/2)等

如果p(x)的值无论异常与否都很大，可以尝试组合多个feature,(因为feature之间可能是有关系的)

5、多元高斯分布

单元高斯分布存在的问题

如下图，红色的点为异常点，其他的都是正常点（比如CPU和memory的变化）

x1对应的高斯分布如下：

x2对应的高斯分布如下：

可以看出对应的p(x1)和p(x2)的值变化并不大，就不会认为异常

因为我们认为feature之间是相互独立的，所以如上图是以正圆的方式扩展

多元高斯分布

，并不是建立p(x1),p(x2)...p(xn)，而是统一建立p(x)

其中参数：,Σ为协方差矩阵

同样，|Σ|越小，p(x)越尖

例如：

，

表示x1,x2正相关，即x1越大，x2也就越大，如下图，也就可以将红色的异常点检查出了

若：

表示x1,x2负相关

实现代码：

# 多元高斯分布函数
def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
k = len(mu)
if (Sigma2.shape[0]>1):
Sigma2 = np.diag(Sigma2)
'''多元高斯分布函数'''
X = X-mu
argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1)) # axis表示每行
return p

6、单元和多元高斯分布特点

单元高斯分布

人为可以捕捉到feature之间的关系时可以使用

计算量小

多元高斯分布

自动捕捉到相关的feature

计算量大，因为：