登顶Nature | DeepMind用AI首次实现数学领域重大进展，助力科学家证实两大猜想

编辑：琰琰

数论是人类知识最古老的一个分支，然而它最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。数学原理极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。可以说数学，是一切科学的基础。就如诺贝尔奖得主费曼说：如果没有数学语言，宇宙似乎是不可以描述的。

徐宗本院士曾表示，数学与 AI 的关系是「融通共进」。一方面，人工智能的基础之一是数学，因此人工智能想要行稳致远，就必须先把数学的基本问题解决好；另一方面，人工智能的发展也对数学领域的研究产生了重要的推动作用。

只是目前为止，人工智能技术未能在纯数学研究中取得重大突破。

12月1日，Nature杂志刊登文章《Advancing mathematics by guiding human intuition with AI》，验证了机器学习在发现数学猜想和定理方面有着巨大潜力。

这篇文章出自人工智能明星公司DeepMind团队，他们与数学领域的顶级科学家合作，在拓扑学和表象理论方面证明了两个新猜想：

1. 与悉尼大学Geordie Williamson教授合作接近证明了一个关于卡兹丹—卢斯提格多项式的古老猜想，这个猜想已困扰数学家们40多年。

2. 与牛津大学Marc Lackenby教授和András Juhász教授一起，通过研究拓扑学纽结理论观察到代数和几何不变量之间的惊人联系。这是利用机器学习做出的第一个重大数学发现。

在这篇最新论文中，计算机科学家和数学家们首次使用AI来帮助证明或提出新的数学定理，包括复杂理论中的纽结理论和表象理论。

该论文的研究团队提出采用一种机器学习模型，来发现数学对象之间的潜在模式和关联，用归因技术加以辅助理解，并利用这些观察进一步指导直觉思维和提出猜想的过程。

这次研究中，AI帮助探索的数学方向是表象理论。表象理论属于线性对称理论，是利用线性代数探索高维空间的数学分支，而该论文的合著者Williamson教授是全球公认的表象理论的领导者。

Williamson教授说：“在我所研究的领域中，为了证明或反驳长期存在的猜想，有时需要考虑跨越多维度的无限空间和极其复杂的方程组”。虽然计算机长期以来一直被用来为实验数学生成数据，但识别有趣模式的任务主要依赖于数学家自己的直觉。

众所周知，数学家的直觉在数学发现中起着极其重要的作用——“只有结合严格的形式主义和良好的直觉思维，才能解决复杂的数学问题”。

然而，DeepMind的新突破打开了一扇崭新的大门。

DeepMind团队在论文中描述了一种通用的框架方法，在这个框架之下，数学家可以使用ML工具来指导他们对复杂数学对象的直觉，验证关系存在的假设，并理解这些关系。

Williamson教授就利用AI，在证明关于Kazhdan-Lusztig多项式的古老猜想的道路上离目标越来越近，当然，这些猜想涉及高维代数中的深度对称性。可以说，Kazhdan-Lusztig（KL）是代数群表示论近40年来最重要的发展之一。

而来自牛津大学的Marc Lackeby教授和András Juhász教授，则进一步研究了该过程。

他们发现了纽结的代数和几何不变量之间惊人的关联，建立了数学中一个全新的定理。这些不变量有许多不同的推导方式，研究团队将目标主要聚焦在两大类：双曲不变量和代数不变量。两者来自完全不同的学科，这增加了研究的挑战性和趣味性。

研究团队假设，在一个纽结的双曲不变量和代数不变量之间存在着一种未被发现的关系。监督学习模型能够检测到大量几何不变量和签名之间存在的模式。如下图所示，由归因技术确定最相关的特征。

通过计算归因技术确定的最相关的显著子图，分析这些图与原始图相比的边缘分布，有助于进一步探索结构证据。

图注：a. 在预测 q4 时，与数据集中跨区间的平均值相比，显着子图中存在的反射百分比增加的示例热图。b. 与来自数据集的10个相同大小的自举样本相比，模型的10次再训练在显着子图中观察到的每种类型的边缘的百分比。误差线是95%的置信区间，显示的显着性水平是使用双侧双样本t检验确定的。* p < 0.05；****p < 0.0001。c. 通过假设、监督学习和归因的迭代过程发现的有趣子结构的区间021435–240513∈S6的说明。受先前工作启发的子图以红色突出显示，超立方体以绿色突出显示，分解分量同构于SN-1中的区间以蓝色突出显示。

纽结作为低维拓扑中的基本对象之一，是一个嵌入三维空间的扭曲环。纽结理论可帮助数学家理解纽结的特性以及它与其他数学分支的关系，在生物、物理学科中也有无数应用，如理解DNA链、流体动力学等。

诚如Williamson所说，识别有趣模式的任务主要依赖于数学家自己的直觉，Juhász教授也表示：“纯数学家的工作方式是制定猜想并证明这些猜想，从而得出定理。但是，这些猜想从何而来呢？”

DeepMind的研究已证明，在数学直觉思维的指导下，ML提供了一个强大的框架，在有大量可用数据的领域，或者对象太大而无法应用经典方法研究的领域，可以帮助数学家发现有趣且可证明的猜想。

参考资料：

1. https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1

2. https://mp.weixin.qq.com/s/iPjIemHKHenyvtaUTESRig
   

3. https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

4. https://www.leiphone.com/category/academic/uOmvQDxfp64OhOKU.html

5. https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-ways 

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