看得懂的数学之美：从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起

机器之心报道

参与：思、肖清

什么是数学之美？就是思考的时候忘记时间的流逝，解答或证明后无与伦比的快乐。

欧拉，历史上最重要的数学家之一，也是最高产的数学家，平均每年能写八百多页论文。我们经常能见到以他名字命名的公式与定理，可能最广为人知的便是「世界上最美的公式」欧拉公式。

先不说它的具体意义，能将自然数、虚数、π、0 和 1 这几个最基本的元素组合在一起，就是令人惊叹的美。欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，同时建立三角函数和指数函数的关系，被誉为「数学中的天桥」。

这样的数学方程是极具美感的，而要构建这样的方程，整个思考与推导过程同样是非常优美的。数学最吸引人的地方，就在于这一步步推导的过程，一种拨开云雾见月明的感觉。

在本文中，我们希望通过一步步重现欧拉解巴塞尔问题的过程，体会到这种数学之美。

巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在 1644 年提出，由欧拉在 1735 年解决。由于这个问题难倒了以前许多数学家，欧拉一解出这个问题马上就出名了，当时他二十八岁。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，为了纪念它是欧拉和伯努利家族的家乡。

文章将解释欧拉是如何解决著名的巴塞尔问题的，看看如何用简单的 sin(x) 函数和多项式，再借助泰勒级数的强大能力，解决这个问题。

巴塞尔问题

巴塞尔问题起先在 1650 年就提出来了，它的目标在于求解某一离散无穷数列的和，具体来说，巴塞尔问题可以描述为如下：

如果读者们还记得高数，记得无穷级数，你就会发现巴塞尔问题其实就是一个幂级数求和问题。当时很多学者都在想方法去计算这个问题，但欧拉在 28 岁时就证明了它，使得数学界非常惊叹。欧拉最初的证明方法并不一定是非常严格的，但它是非常优美的，简洁的过程与新奇的想法，使得我们能体会到「数学之美」。

欧拉最初的想法来自 sinc(πx) 函数，他将该函数定义为如下：

函数的图像如下所示，当 x 趋向于 0 时，因为 sin(x) 与 x 的速度等同，它们相除最终会收敛到 1。之所以要构造这个函数，答案就藏在它的零点，即当 sinc(πx) = 0 时 x 的所有取值。

为了理解这一点，考虑如下四次多项式的零点，很明显当 x 分别等于

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