新冠病毒检验的可信度和概率预测

    从抗病毒前线传来消息，核酸检验假阴性太多，这给救治和隔离带来极大困难，有人因此提出要配合CT等手段确诊。本文做一科普，说明假阴性和假阳性是怎么回事，根据阳性或阴性能做怎样的概率预测，以及我们应当在多大程度上相信阴性和阳性。

  对于医学检验中，我们用e1表示阳性，它是对有病或被感染（记为h1）的预测；e0表示阴性，是对没病或没被感染h0的预测. 设e是变量，作为证据；h是变量，作为假设。则不确定关系如下：

图1  e和h的关系

条件概率P(e1|h1)叫做敏感性，又叫真阳性率；P(e0|h0)叫特异性，又叫真阴性率。敏感性和特异性反映检验手段好坏。P(e0|h1)=1-P(e1|h1)叫假阴性率，也就是漏报比例，这个比例越小越好。 P(e1|h0)是假阳性率，也就是误报比例，这个也是越小越好。但是一个检验通常很难做到两者都小（参看下图）。漏报损失更大，所以漏报比例要小，这更加重要，要优先考虑。

图2. 四个条件概率和检验分界x'的关系

然而，遗憾的是，目前核酸检验新冠毒肺炎，敏感性只有0.3-0.5 （参看 https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_5878994）. 假设是0.5，这意味着真感染者有一半要漏报。有人会说，既然它这么低为什么还要用？

医学检验中用阳性似然比反映阳性有多可靠：

LR+= P(e1|h1)/P(e1|h0)=敏感性/(1-特异性)

只要特异性较大，LR+就大，根据阳性可以预测有病的概率较大。比方说，特异性是0.9(这是假设，我没有查到核酸检验的特异性)，那么阳性似然比LR+=0.5/（1-0.9）=5.假设有疑似症状的人被感染的先验概率（又叫基础概率）是P(h1)=0.2(又叫基础概率，目前大概是0.2)，那么可以算出

P(e1)=P(h1)P(e1|h1)+P(h0)P(e1|h0)=0.2*0.5+0.8*0.1=0.18;

P(e0)=0.82.

检查出阳性后，被感染的条件概率就是（根据贝叶斯公式）：

P(h1|e1)=P(h1)P(e1|h1)/[P(h1)P(e1|h1)+P(h0)P(e1|h0)]

=0.2*0.5/0.18=1/1.8=0.56.

被感染的概率从0.2增加到0.56, 所以检验有用。

但是阳性也不完全可信。因为阳性的误报概率是P(h0|e1)=1-0.56=0.44.这意味着100个阳性者有44个不是真地被感染。 阴性也不完全可信，因为其中被感染和没被感染的概率是

P(h1|e0)=P(h1)P(e0|h1)/P(e0)=0.2*0.5/0.82=0.122。

P(h0|e0)=1- P(h1|e0)=0.878

这意味着100个阴性的人当中有12.2个是被感染的。

 这就是为什么有医生呼吁要使用CT辅助确诊——因为敏感性较低。对于被感染h1，一种检验阳性可以提高被感染的条件概率——作为另一种检验的先验概率。再使用另一种检验，如果也是阳性，则后验概率就更大。另一方面，某个被感染者被一种检验漏报后，另一种检验还可能查出来。

从上面分析可以看出敏感性的重要性。但是要注意，敏感性高，并不意味着阳性e1可信，而是意味着阴性e0可信，即预测没病可信。类似地，特异性高并不意味阴性e0可信，而是意味着阳性e1可信。

    本人研究归纳确证问题[1]，得到确证度或可信度公式：

比如，对于新冠病毒检验，

b1*=(5-1)/5=0.8;

LR- =P(e0|h0)/P(e0|h1)=特异性/(1-敏感性)=0.9/0.5=1.8;

b0*=(1.8-1)/1.8=0.44

说明, 作为检验手段，阴性远不如阳性可信。

通过P(h1)和b1*也可以算出被感染的概率：

P(h1|e1)=P(h1)/[1-b1*P(h0)]。

同理有：

P(h0|e0)=P(h0)/[1-b0*P(h1)]。

上面确证测度b*被称为信道确证度，和似然比一样，只反映信道或检验手段好坏，并不反映概率预测好坏。为此我们还需要预测确证度c*：

c*在预测的概率大于0.5时大于0，否则小于0.

比如对于新病毒检验，

c1*=(0.56-0.44)/0.56=0.12/0.56=0.21.

c0*=(0.878-0.122)/0.878=0.86.

可见，对于概率预测，阴性比阳新更加可信——因为预测的没被感染的概率更大。通过c*能更方便算出被感染的概率:

P(h1|e1)=1/(2-c1*);

P(h0|e0)=1/(2-c0*).

对于上面新冠病毒检验，通过阳性和c1*可以预测被感染的概率：P(h1|e1)=1/(2-0.21)=1/1.79=0.56。

通过阴性和c0*可以预测没被感染的概率P(h0|e0)=1/(2-0.86)=1/1.14=0.878.

上面结果和用b*算出的结果相同。但是在基础概率P(h1)改变的情况下，要计算被感染的概率还是用使用b1*，即：P(h1|e1)= P(h1)/[1-b1*P(h0)]。 

总结：

假设敏感性是0.5， 特异性是0.9，被感染的基础概率是0.2；

则作为检验手段，阳性的可信度是0.8，阴性的可信度是0.44；

作为概率预测，阳性的可信度是0.21， 阴性的可信度是0.86.

检验为阳性时，被感染的概率是0.56；检验为阴性时，被感染的概率是0.122.

另外， 通过c*，还可以很好解释乌鸦悖论。详见：

信道确证和预测确证——从医学检验到乌鸦悖论  

笔者个人主页中相关讨论见：

http://www.survivor99.com/lcg/CM/Recent.html 

笔者最近每天提供疫情统计和简评，见：

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2056&do=blog&view=me&from=space

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